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Matemática para Concursos– 48ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste  tutorial serão tratados assuntos sobre progressões aritméticas, suas principais formas de resolução, exemplos práticos resolvidos, bem como definições sobre o tema.

Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

* Definição

Progressão geométrica (P.G.) é uma sucessão de termos não-nulos em que o quociente de cada termo e seu procedente, a partir do segundo, é sempre constante. Esse quociente é chamado razão da progressão geométrica na seqüência conforme abaixo:

a1, a2, a3,...an-1, an

Onde se tem o seguinte:

Q = a2/a1 = a3/a2... = an/an-1

A razão da P.G é representada por Q.

Exemplos:

1, 2, 4, 8, 16 é uma PG onde a1 = 1 e Q = 2

3, 9,  27, 51,  é uma PG onde a1 = 3 e Q = 3

4, 8,  16, 32,  é uma PG onde a1 = 4 e Q = 2

* Tipos de P.G.

- A progressão geométrica (P.G.) pode ser denominada de finita, se tiver um número finito de termos.

- A progressão geométrica (P.G.) pode ser denominada de infinita, se tiver um número infinito de termos.

* Classificação de uma P.G.

a) Crescente

- Quando a1 > 0 e Q > 1

Exemplos:

(1, 2, 4, 8, 16) ==è a1 = 1

(2,4,6,8) ==è a1 = 2

- Quando a1 < 0 e 0 < Q < 1

Exemplo:

(-8, -4, -2, -1)

b) Decrescente

- Quando a1 > 0 e 0 < Q < 1

Exemplo:

(20,10,5)

- Quando a1 < 0 e Q > 1

Exemplo:

(-1, -2, -4, -8)

c) Oscilante

- Quando Q < 0

Exemplo:

(2, -6, 18, - 54)

d) Estacionária

- Quando Q = 1

Exemplo: (2, 2, 2, 2)

* Fórmula do Termo Geral de uma PG

An = a1 . Qn-1

- Exemplos para fixação de conteúdo e fórmula

a) Calcular o 1º termo de uma P.G. cujo 6º termo vale 1 e a razão 2.

Montando os valores:

a1 = ?

N = 6

Q = 2

a6 = 1

Resolvendo:

An = a1 . Qn-1

a6 = a1 . Q6 - 1 = a1 . 25  = 1

a1 = 1/32

b) Calcular o 1º termo de uma P.G. cujo 5º termo vale 2 e a razão 3.

Montando os valores:

a1 = ?

N = 5

Q = 3

a5 = 2

Resolvendo:

An = a1 . Qn-1

a5 = a1 . Q5 - 1 = a1 . 24  = 2

a1 = 2/16

a1 = 1/8

* Exercícios resolvidos de PG

1) Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 é a sua razão, calcule o termo de ordem 8.

- Montando os valores

a1=32

Q=2

a8=?

n=8

Usando a fórmula do termo geral:

An = a1 . Qn-1

Resolvendo:

an = a1*Qn-1

a8=a1*Q8-1

a8=32*27

a8=32*128

a8= 4096

2) Sendo 16 o primeiro termo de uma PG e 3 é a sua razão, calcule o termo de ordem 6.

 - Montando os valores

a1=16

Q=3

a6=?

n=6

Usando a fórmula do termo geral:

An = a1 . Qn-1

Resolvendo:

an = a1*Qn-1

a6=16*Q6-1

a6=16*25

a6=16*32

a6= 512

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.


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