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Matemática para Concursos– 41ª Parte

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste  tutorial serão tratados assuntos sobre equações do segundo grau, suas principais formas de resolução, exemplos práticos resolvidos, bem como definições sobre o tema.

Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

Equações do 2º grau – Parte II

* Definição

Como informado em tutoriais anteriores, denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda e qualquer equação que esteja na forma:

Onde : a, b, c pertence a R, com a ≠ 0

Desta forma, são equações do segundo grau com uma variável:

a) 2x2 – 3x + 4 = 0

Onde:

a = 2

b = -3

c = 4

b) 2y2 + 8y – 14 = 0

Onde:

a = 2

b = 8

c = -14

* Como resolver equações completas do 2º grau

Já foi demonstrado em tutoriais anteriores, como resolver equações do segundo incompletas.

Buscaremos agora resolver uma equação completa, que significa determinar o conjunto de soluções dessa equação.

Inicialmente observamos a fórmula resolutiva e discriminante. Considerando a equação:

ax2 – bx + c = 0

Em que a,b,c pertence a R e a é diferente de zero

Será usada a fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara para a resolução de equações completas.

A expressão:

Onde símbolo apontado acima chama-se DELTA.

A Fórmula de Báscara:

Delta

O polinômio indicado e que se encontra dentro da raíz da fórmula é chamado de delta ou discriminante.

\Delta = b^2-4ac\,\!

Dessa forma, a fórmula resolutiva pode ser escrita na forma:

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\,\!

Conforme o DELTA seja positivo, negativo ou nulo, existem três caso para se estudar e resolver:

1º caso: O discriminante é positivo \Delta > 0\,\!.

A equação terá dua raízes reais diferentes e distintas, sendo costume fazer esta representação por X’ e X’’.

A fórmula resolutiva deste caso é :        x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\,\!

2º caso: O discriminante é nulo  \Delta = 0\,\!

A equação terá duas raízes reais e iguais.

Neste caso existe um caso particular para fórmula resolutiva : x = -b_

                                                                                                         2a

Assim: x = x’ = x’’ = -b

                              2a

3º caso: O discriminante é negativo \Delta < 0\,\!

Este caso o valor da raiz quadrada de delta não existe em R, pois não existe no conjunto dos números reais a raiz quadrada de um número negativo.

Baseado nas condições acima, verificará como resolver as equações completas do 2º grau por meio da fórmula resolutiva.

* Resolva as seguintes equações completas do 2º grau

a) x2 – 6x + 5 = 0

Onde:

a = 1

b = -6

c = 5

Discriminante:

= (-6)2 – 4.(1).(5)

    = 36 – 20

    = 16  ---> 16 > 0

Logo existem duas raízes reais e diferentes.

Substituindo:

X = -(-6) +- √16  = 6 +-4  --->

             2.(1)           2

X’ = 6 + 4 = 5

            2

X’’ = 6 – 4 = 1

         2

S = {1,5}

b) x2   = 5(2x – 5)

Onde:

x2   = 5(2x – 5)

x2    = 10x – 25

x2    - 10x + 25 = 0

a = 1

b = -10

c = 25

Discriminante:

= (-10)2 – 4.(1).(25)

    = 100 – 100

    = 0  ---> 0 = 0 (duas raízes)

Fórmula resolutiva:

x = x’ = x’’ = -b

                    2a

x = -(-10)     ---> x = 10/2

       2.(1)

x = 5

S = {5}

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

Até a próxima.


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