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Sobre este Tutorial

Autor: Jorge Alberto dos Santos
Data: 25-11-2006
Categoria: Concursos Públicos
Assunto: MATEMÁTICA PARA CONCURSOS
Visitas: 57125
E-mail: ntjorge@gmail.com
Site: www.temdinheiro.com.br
Avaliação: (145 votos)
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Matemática para Concursos– 41ª Parte

 

Objetivos:

 

Estes tutoriais trarão uma série de tópicos sobre matemática básica de nível primário e secundário e que são pontos fundamentais em concursos públicos realizados, e até mesmo podem servir como fonte de consultas e recursos. Neste  tutorial serão tratados assuntos sobre equações do segundo grau, suas principais formas de resolução, exemplos práticos resolvidos, bem como definições sobre o tema.

 

Este tutorial não tem como objetivo ser apenas a única fonte de leitura, sendo necessário o estudo em livros técnicos e um acompanhamento personalizado em questões de maior abrangência, porém serve como uma fonte de direcionamento e consulta.

 

Equações do 2º grau – Parte II

 

* Definição

 

Como informado em tutoriais anteriores, denomina-se equação do 2º grau com uma variável toda e qualquer equação que esteja na forma:

 

 

Onde : a, b, c pertence a R, com a ≠ 0

 

Desta forma, são equações do segundo grau com uma variável:

 

a) 2x2 – 3x + 4 = 0

 

Onde:

 

a = 2

 

b = -3

 

c = 4

 

b) 2y2 + 8y – 14 = 0

 

Onde:

 

a = 2

 

b = 8

 

c = -14

 

* Como resolver equações completas do 2º grau

 

Já foi demonstrado em tutoriais anteriores, como resolver equações do segundo incompletas.

 

Buscaremos agora resolver uma equação completa, que significa determinar o conjunto de soluções dessa equação.

 

Inicialmente observamos a fórmula resolutiva e discriminante. Considerando a equação:

 

ax2 – bx + c = 0

 

Em que a,b,c pertence a R e a é diferente de zero

 

Será usada a fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara para a resolução de equações completas.

 

A expressão:

 

 

Onde símbolo apontado acima chama-se DELTA.

 

A Fórmula de Báscara:

 

 

 

Delta

 

O polinômio indicado e que se encontra dentro da raíz da fórmula é chamado de delta ou discriminante.

 

\Delta = b^2-4ac\,\!

 

Dessa forma, a fórmula resolutiva pode ser escrita na forma:

 

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\,\!

 

Conforme o DELTA seja positivo, negativo ou nulo, existem três caso para se estudar e resolver:

 

1º caso: O discriminante é positivo \Delta > 0\,\!.

 

A equação terá dua raízes reais diferentes e distintas, sendo costume fazer esta representação por X’ e X’’.

 

A fórmula resolutiva deste caso é :        x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\,\!

 

2º caso: O discriminante é nulo  \Delta = 0\,\!

 

A equação terá duas raízes reais e iguais.

 

Neste caso existe um caso particular para fórmula resolutiva : x = -b_

                                                                                                         2a

 

Assim: x = x’ = x’’ = -b

                              2a

 

3º caso: O discriminante é negativo \Delta < 0\,\!

 

Este caso o valor da raiz quadrada de delta não existe em R, pois não existe no conjunto dos números reais a raiz quadrada de um número negativo.

 

Baseado nas condições acima, verificará como resolver as equações completas do 2º grau por meio da fórmula resolutiva.

 

* Resolva as seguintes equações completas do 2º grau

 

a) x2 – 6x + 5 = 0

 

Onde:

 

a = 1

 

b = -6

 

c = 5

 

Discriminante:

 

 

= (-6)2 – 4.(1).(5)

 

    = 36 – 20

 

    = 16  ---> 16 > 0

 

Logo existem duas raízes reais e diferentes.

 

 

Substituindo:

 

X = -(-6) +- √16  = 6 +-4  --->

             2.(1)           2

 

X’ = 6 + 4 = 5

            2

 

X’’ = 6 – 4 = 1

         2

 

S = {1,5}

 

b) x2   = 5(2x – 5)

 

Onde:

 

x2   = 5(2x – 5)

 

x2    = 10x – 25

 

x2    - 10x + 25 = 0

 

a = 1

 

b = -10

 

c = 25

 

Discriminante:

 

 

= (-10)2 – 4.(1).(25)

 

    = 100 – 100

 

    = 0  ---> 0 = 0 (duas raízes)

 

Fórmula resolutiva:

 

x = x’ = x’’ = -b

                    2a

 

x = -(-10)     ---> x = 10/2

       2.(1)

 

x = 5

 

S = {5}

 

Nas próximas lições veremos mais sobre os principais temas de matemática para concursos.

 

Até a próxima.

 

 

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